在問題解決中培養學生的思維能力
——數學組賽課總結
在小學數學教學中，解決問題是重要的組成部分。通過解決問題，能夠鞏固學生對知識的理解，促進學生的知識運用，培養學生的創新意識及思維能力，切實改善學生的生活體驗。如果再進一步，從數學學科的視角來看，解決問題的關鍵在于學生處理數量關系的能力。只有正確分析并處理問題中的數量關系，問題才能得到正真的解決。
所謂數量關系，指的是根據規律總結出的存在于數學問題中的數量之間的聯系，這種聯系可以通過某種形式體現出來。明確數量關系，可以幫助學生明確數學問題的解決方向，促使學生形成基本的解決問題方法并逐漸找到具體的解決問題策略。因此可以說，數量關系是解決問題時學生所必須建立起來的一個以數量為基本對象的思維模型。只有掌握基本的分析方法后,積累基本的數量關系模型,才能使學生在獲取信息后迅速形成解決問題的思路,提高解決問題的能力。
一、 從已有的生活經驗激發學習興趣
數學來源于生活且應用于生活。小學數學中的多數數量關系在生活中都能找到原型。如：單價×數量=總價，付出的錢數-購買物品的錢數=找回的錢數等，這些數量關系在學習之前，是無法讓學生進行概括性表述的，但在實際生活中，學生早已運用這樣的數量關系解決了相關的實際問題，有大量解決問題的經驗。因此，教學中教師就要結合學生熟悉的教學情境，讓學生在情境中理解數量關系，從而激活學生解決問題的經驗，這樣，學生對數量關系的理解就不再是抽象的、單一的知識，而是與學生生活經驗相聯系的、活的、豐富的知識。
如：李曉芬老師在教學《速度、時間和路程》時，李老師讓學生在具體情境中提出合理的數學問題，利用問題引發學生的認知沖突，激發學生學習的動力，促進學生積極參與思考和探究，讓學生經歷數學觀察、數學思考、數學表達。引導學生用已有的知識經驗分析和表達情境中的數量關系，啟發學生用數學的語言表達現實世界，行成初步的模型意識、幾何直觀和應用意識。
京張鐵路——我國自主設計并建造的第一條鐵路， 蒸汽機車每小時行35千米，大約行6小時。
京九鐵路——我國一次性建成里程最長的鐵路， 特快列車每小時行160千米，大約行16小時。
哈大高鐵——世界上首條高寒高鐵， 動車每小時行300千米，大約行3小時。
通過對這幾組數據進行分析和提問，引導學生利用已有的知識經驗進行思考，從而得出：都是已知一個小時行了多少和所用時間，求一共行了多長。通過畫圖分析我們可以看出都是求幾個幾是多少，所以都用乘法在解決。初次建立“速度×時間=路程”的關系式，為后續的規范關系做了很好的鋪墊。
二、 借助已有的經驗發展思維能力
要解決問題，就要對提供的情境圖進行理解，讀懂圖意。因此，在出示情境圖時，要讓學生充分觀察情境圖，理解圖意，然后再引導學生去找出已經知道了什么，要求的問題是什么，圖中的哪些信息與解決這個問題相關，哪些信息是無關的。這個過程很重要，一定要讓學生有獨立觀察與思考的過程，然后在小組內交流，最后，通過相互補充，形成一個完整的學生能理解的問題表達。
如：謝自立老師在教學《用含字母的式子表示較復雜的數量關系》時，在探究新知環節，謝老師并沒有直接給出例題讓學生分析解答，而是呈現出三角形和正方形的小棒圖形，讓學生自己觀察、發現信息并提出問題，成為學習的發現者、研究者和探索者。
師:同學們，觀察這幅圖，你發現了什么?
生1:我發現擺正方形一共需要16根小棒。
生2:我發現擺一個三角形需要3根小棒，擺一個正方形需要4根小棒。
生3:我發現擺一個正方形比擺一個三角形多用1根小棒。
生4:我發現一個三角形和一個正方形組成一個新的圖形，一共需要7個小棒。
師:添加一個信息“擺了x個三角形和x個正方形”，根據已有信息，你能提出一個數學問題嗎?
生1:擺x個三角形和x個正方形一共需要多少根小棒?
生2:擺x個正方形比擺x個三角形多用了幾個小棒?
生3:擺x個正方形一共用了多少個小棒?
生4:擺x的三角形一共用了多少根小棒?
獨立思考后展示分享:
生1:擺三角形的小棒總數?擺正方形的小棒總數=需要的小棒總數
3x + 4x=7x
生2:擺一個三角形和一個正方形需要的小棒個數×擺的x個=需要的小棒總數
(3+4)× x=7x
師:對比兩位同學的思路，你發現了什么?
生:兩種方法都是求需要的小棒的總數，而且這兩種方法就是乘法分配率的運用。
師:也就是我們可以運用等量關系來列式，運用乘法分配律進行化簡。
萬莉老師在教學《用連乘解決問題》時，先呈現蔬菜大棚的主題圖后，讓學生閱讀理解，從中提煉出所有的數學信息，然后要求學生根據已知信息提出問題。再從學生的提問中挑選出了三個重要問題，并根據解題需要調整了板書的順序：1、蘿卜地有多少平方米?2、紅蘿卜地占大棚面積的幾分之幾?3、紅蘿卜地有多少平方米?提煉出信息和問題之后，給學生布置學習任務：
1、如果用一張長方形的紙表示大棚，你能折出或畫出紅蘿卜地的面積嗎?動手試試吧。
2.看著示意圖，你能解決這個問題嗎?
3.分享交流：說一說你是怎么想的?
讓學生借助折紙，畫示意圖等方法幫助理解題意，在折、畫、說等過程中逐步理清數量關系，最終列式解決問題，檢查答案是否正確合理等，最后歸納整理出解決問題的解題模板。
三、在交流中充分感知數量之間的關系
張思夢老師在教學《用字母表示數》時，張老師以師生的年齡為切入點，組織學生進行自主地探索學習，大膽的自己觀察、自己發現、自己描述、引導學生經歷從“具體事物——個性化地用符號——用字母表示數”這一逐步符號化，形式化的過程，在交流、分享的過程中，不斷豐富用字母表示數的經驗，滿足學生的表現欲和探究欲，使學生學得輕松愉快。
環節1：由個別到一般，感知數量關系
師：你能用一個式子簡明表示任意一年張老師的年齡嗎?
環節2：抽象具體，建立模型
(1)獨立思考：學生獨立嘗試用自己的方法描述任意一年老師年齡，其中有用文字的，有用字母的，還有用數字的。
(2)交流談論：學生交流自己方法中所表示的含義，在這一環節大部分學生意識到數字表示準確值，不能表示任意數，因此剔除某些表達方法。
(3)交流展示：三個同學代表說出自己的方法、理由以及所表達含義。
(4)對比總結：除了可以用文字描述，還可以用字母表示;使學生進一步體會字母可以代表任何數，并初步體會字母表示數不僅簡單明了并且具有概括性。
環節3：辨析含義，促進理解
在學生表示后，老師及時追問：“字母a，字母式(a+16)分別指什么?”學生回答：“a表示小蔡年齡。(a+16)表示張老師的年齡?！睆亩由罾斫猓鹤帜缚梢员硎緮?含有字母的式子也可以表示數。
師：那字母式(a+16)除了可以表示一個數，還可以表示什么?
生：求和的數量關系。
師：那反過來，如果我用b表示張老師的年齡，你能用含有字母b的式子表示小蔡年齡嗎?生：(b-16)
生：字母式不僅可以表示求和數量關系，還可以表示求差數量關系。
通過不斷追問，讓學生對知識的掌握由形象感知邁向抽象理解，充分感受用字母表示某一量，從而表示其數量關系，進而表示出另一量，由此不斷生成新的學習經驗。
四、 深化數量關系，提升學生解決問題的能力
學生在分析問題的過程中，自然會形成對數量關系的一種感悟和理解。但這樣的感悟和理解是直觀的、零散的，缺乏結構性與深刻性，不利于學生解決問題思維的發展。因此，要對學生已初步形成的數量關系進行深化，溝通數量關系之間的內在聯系，建構起良好的數量關系基本系統，學生解決問題的能力才能得以提升。在教學中，我們要有意識地設計出溝通數量關系的問題，引發學生的思考，以深化學生對某種數量關系的理解。一題多問，一題多解，變式的訓練等都是有效的方式。
吳倩老師在教學《植樹問題》時，當同學們研究出兩端都栽的方法之后，老師及時追問，我們剛剛研究了兩端都栽的植樹問題，你還有什么想法?
生1：如果一端栽，一端不栽呢?可以種多少棵樹?
生2：如果兩端都不栽呢?
師：你們提出的問題太有價值了，那你能上來結合線段圖說一說一端栽，一端不栽是什么意思?兩端都不栽又是什么意思?
生:如果一端栽、一端不栽，也就是把起點或者終點的這棵樹拿走。
如果兩端都不栽，也就是把起點和終點的樹都拿走。
師：同學想一想，要怎么解決?拿出你們的學習單，繼續探究。
我發現：思維的第一步還是全長÷間距=間隔數
一端栽、一端不栽：棵數=間隔數
兩端都不栽：棵數=間隔數-1
如“棵數=間隔數+1”這個數量關系，吳老師引導學生從多角度、多層次進行思考探究得出：一端栽，一端不栽時，“棵數=間隔數”;兩端都不栽時，“棵數=間隔數-1”。這樣就由原來單一的數量關系拓展到與其相關的其他數量關系，形成一個數量關系的網狀結構，每個數量關系之間都有聯系，學生思考問題時就能左右逢源、思路開闊、思維靈動。
還有一種溝通，就是基于各種不同數量關系的本質內涵的溝通，如：總價=單價×數量，路程=速度×時間 ，工作總量=工作時間×工效，總產量=單產量×數量等等，這些數量關系呈現方式不同，但它們的本質是相同的，都是求幾個相同加數的和的簡便運算，只是在不同的情境中所表達的形式不同罷了。所以在引導學生進行數量關系溝通時，我們不僅要引導學生理解這些數量關系的“表層結構”，更要引導學生去溝通這些看似不同的數量關系的“深層結構”，這樣學生對數量關系的理解就深化了。
數量關系的分析教學要建立在實際的問題情境中，要建立在基本的數量關系與基本的生活事理中，在引導學生分析基本數量關系時，不僅要使學生理解所學的數量關系，更要讓學生學會如何去分析數量關系，從而提升學生解決問題的能力，發展學生的數學思維。
編輯：李曉芬
審核：張銀中
圖片：數學教研組提供
上傳：熊川川
